Daniel estudia medicina en Suiza y
Alemania, obteniendo el título en 1724. En el mismo año publica parte de sus
investigaciones matemáticas y un año después es nombrado profesor de matemáticas
de la universidad de San Petersburgo.
En
1733 regresa a Basilea donde imparte docencia en las áreas de Botánica y
Anatomía y posteriormente en Física.
Destacan sus investigaciones relativas a
trigonometría, cálculo, probabilidad y sobre un nuevo modelo de los gases,
considerándosele como uno de los precursores de la teoría cinética de los gases.
Pero, fundamentalmente D. Bernoulli es
conocido por sus trabajos dentro de la hidráulica.
En 1738, en su obra Hidrodinámica,
Bernoulli establece la ley que lleva su nombre, y que enuncia así: a lo largo de
un tubo de flujo la suma de la energía cinética, de la energía potencial debida
a la gravedad y la de la energía de presión es constante.
Matemáticamente:
p-p´= pgh +1/2 p (v2 -
v´2)
siendo p y p´las presiones a la entrada y
la salida del tubo v y v´ las velocidades del líquido a la entrada y a la salida
del tubo, h el desnivel del líquido y p su densidad.
Para un punto del tubo de altitud h, la
ley anterior queda así:
v2/2+p/p +gh = constante
Esta ley expresa que toda variación de la
velocidad de flujo acarrea una variación de presión, y a la inversa, que toda
variación de presión acarrea una variación de la velocidad, y tiene numerosas
aplicaciones como son el ariete hidráulico , el vaso de Mariotte, las trompas de
líquido y el tubo de Pitot:
Si se cierra bruscamente el orificio de un
tubo dentro del cual un líquido fluye a la velocidad v, esta velocidad se anula
en el extremo así cerrado, y resulta de ello un aumento en la presión;
calculable por medio de la ley de Bernoulli. Este considerable aumento provoca
un golpe de ariete en el extremo del tubo; si se pone en comunicación con este
extremo otro tubo que contenga agua, por ejemplo, se verá subir esta agua por el
tubo empalmado.
El tubo de Pitot fue inventado por el
físico francés Pitot (1695-1771) y su invención data de 1732, permite medir la
velocidad de una corriente dentro de un tubo horizontal aplicando el principio
de Bernoulli.
Bernoulli propuso un modelo de la
estructura de los gases, en el que consideraba que estos son átomos en continuo
movimiento colisionando todos entre sí y con las paredes del recipiente que los
contiene; fue el punto de partida de la teoría cinética de los gases, aunque
debe recordarse que Euler había intuido esta misma idea al considerar el calor
generado por los cuerpos como el debido al movimiento de las partículas más
pequeñas de los mismos.
El tratado de hidrodinámica que contiene
las proposiciones de la Mecánica de Fluidos conocidas como Teoremas de Bernoulli
está contenido en la obra "Danielis
Bernoulli hidrodinamice, sen de viribus et motibus fluidorum comentarii opus
academiam ab auctore dum petropoli ageret cogestum argentorati
(1738)".
También llevó a cabo trabajos matemáticos,
algunos de los cuales se encuentran recopilados en "Danielis Bernoulli exercitationes quaedam
mathematicae (1724)".
Además durante su vida se ocupó de otros
asuntos de lo más variados; como la inoculación, la duración de los matrimonios,
de la media de varias observaciones y determinó la hora en el mar cuando no se
ve la línea del horizonte.
La Academia de París premió 10 de sus
memorias, una de ellas versaba sobre la inclinación de las órbitas planetarias y
el premio fue compartido con su padre que vio en él a un rival, también fue
premiada otra memoria suya que trataba del flujo y reflujo, en este caso el
premio fue compartido con Euler y otros científicos.
·
DISTRIBUCION BINOMIAL
Existen muchas
situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Cada uno de los
experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado
de un experimento no depende del resultado del resto). El resultado de cada
experimento ha de admitir sólo dos categorías (a las que se denomina éxito y
fracaso). Las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes en
todos los experimentos (se denotan como p y q o p y 1-p).
Se designa por X
a la variable que mide el número de éxitos que se han producido en los n
experimentos.
Cuando se dan estas
circunstancias, se dice que la variable X sigue una distribución de
probabilidad binomial, y se denota B(n,p).
·
CARACTERÍSTICAS
ANALÍTICAS
Su función de probabilidad es
donde
siendo
Ejemplo
Supongamos que se
lanza un dado 50 veces y queremos la probabilidad de que el número 3 salga 20
veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidad sería P(X=20):
·
DISTRIBUCIÓN
DE POISSON
La función de masa de la
distribución de Poisson es
donde
§
k es el número de ocurrencias
del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento
suceda precisamente k veces).
§
λ es un parámetro positivo que representa el número de
veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por
ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y
estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo
de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.
§
e es la base de los logaritmos
naturales (e = 2,71828...)
La moda de una variable aleatoria de
distribución de Poisson con un λ no entero es igual a
, el mayor de los enteros menores
que λ (los símbolos
representan lafunción parte entera). Cuando λ es un entero positivo,
las modas son λ y λ − 1.
·
DISTRIBUCIÓN
HIPERGEOMÉTRICA
En teoría de la probabilidad la distribución hipergeométrica es
unadistribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Supóngase que se tiene una población
de N elementos de los
cuales, d pertenecen a la
categoría A y N-d a la B. La distribución hipergeométrica
mide la probabilidad de obtener x (
) elementos de la categoría A en
una muestra de n elementos
de la población original.
Hasta ahora hemos analizado distribuciones que
modelizaban situaciones en las que se realizaban pruebas que entrañaban una
dicotomía (proceso de Bernouilli) de manera que en cada experiencia la
probabilidad de obtener cada uno de los dos posibles resultados se mantenía
constante.
Si el proceso consistía en una serie de
extracciones o selecciones ello implicaba la reposición de cada extracción o
selección , o bien la consideración de una población muy grande.
Sin embargo si la población es pequeña y las
extracciones no se remplazan las probabilidades no se mantendrán constantes .
En ese caso las distribuciones anteriores no
nos servirán para la modelizar la situación. La distribución hipergeométrica
viene a cubrir esta necesidad de modelizar procesos de Bernouilli con
probabilidades no constantes (sin reemplaza miento) .
La distribución hipergeométrica es especialmente útil en todos aquellos casos
en los que se extraigan muestras o se realizan experiencias repetidas sin
devolución del elemento extraído o sin retornar a la situación experimental
inicial.
Modeliza , de hecho, situaciones en las que se repite un número determinado de
veces una prueba dicotómica de manera que con cada sucesivo resultado se ve
alterada la probabilidad de obtener en la siguiente prueba uno u otro
resultado.
Es una distribución .fundamental en el estudio
de muestras pequeñas de poblaciones .pequeñas y en el cálculo de probabilidades
de, juegos de azar y tiene grandes aplicaciones en el control de calidad en
otros procesos experimentales en los que no es posible retornar a la situación
de partida.
·
DISTRIBUCIÓN
HIPERGEOMÉTRICA
En teoría
de la probabilidad la distribución hipergeométrica es
unadistribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Supóngase que se tiene una población de N elementos de los cuales, d pertenecen a la categoría A y N-d a
la B. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de
obtener x (
) elementos de la categoría A en
una muestra de n elementos
de la población original.
Hasta ahora hemos analizado distribuciones que
modelizaban situaciones en las que se realizaban pruebas que entrañaban una
dicotomía (proceso de Bernouilli) de manera que en cada experiencia la
probabilidad de obtener cada uno de los dos posibles resultados se mantenía
constante.
Si el proceso consistía en una serie de
extracciones o selecciones ello implicaba la reposición de cada extracción o
selección , o bien la consideración de una población muy grande.
Sin embargo si la población es pequeña y las
extracciones no se remplazan las probabilidades no se mantendrán constantes .
En ese caso las distribuciones anteriores no
nos servirán para la modelizar la situación. La distribución hipergeométrica
viene a cubrir esta necesidad de modelizar procesos de Bernouilli con
probabilidades no constantes (sin reemplaza miento) .
La distribución hipergeométrica es especialmente útil en todos aquellos casos
en los que se extraigan muestras o se realizan experiencias repetidas sin
devolución del elemento extraído o sin retornar a la situación experimental
inicial.
Modeliza , de hecho, situaciones en las que se repite un número determinado de
veces una prueba dicotómica de manera que con cada sucesivo resultado se ve
alterada la probabilidad de obtener en la siguiente prueba uno u otro
resultado.
Es una distribución .fundamental en el estudio
de muestras pequeñas de poblaciones .pequeñas y en el cálculo de probabilidades
de, juegos de azar y tiene grandes aplicaciones en el control de calidad en
otros procesos experimentales en los que no es posible retornar a la situación
de partida.
·
DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
La
distribución geométrica es un modelo adecuado para aquellos procesos en los que
se repiten pruebas hasta la consecución del éxito a resultado deseado y tiene
interesantes aplicaciones en los muestreos realizados de esta manera . También
implica la existencia de una dicotomía de posibles resultados y la
independencia de las pruebas entre sí.
§
la distribución de probabilidad del número X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un
éxito, contenido en el conjunto { 1, 2, 3,...} o
§
la distribución de probabilidad del número Y = X − 1 de fallos antes del primer éxito, contenido en
el conjunto { 0, 1, 2, 3,... }.
Cual de éstas es la que uno llama
"la" distribución geométrica, es una cuestión de convención y
conveniencia.
Propiedades
Si la probabilidad de éxito en cada
ensayo es p, entonces la
probabilidad de que x ensayos
sean necesarios para obtener un éxito es
Para x = 1, 2, 3,.... Equivalentemente, la probabilidad de que
haya x fallos antes
del primer éxito es
Para x = 0, 1, 2, 3,....
y dado que Y = X-1,
En ambos casos, la varianza es
Como su análoga continua, la distribución
exponencial, la distribución geométrica carece de memoria. Esto significa que si
intentamos repetir el experimento hasta el primer éxito, entonces, dado que el
primer éxito todavía no ha ocurrido, la distribución de probabilidad
condicional del número de ensayos adicionales no depende de cuantos fallos se
hayan observado.
El dado o la moneda que uno lanza no tiene
"memoria" de estos fallos. La distribución geométrica es de hecho la
única distribución discreta sin memoria.
De todas estas distribuciones de
probabilidad contenidas en {1, 2, 3,... } con un valor esperado dado μ, la
distribución geométrica Xcon
parámetro p = 1/μ es
la de mayor entropía.
La distribución geométrica del
número y de fallos
antes del primer éxito es infinitamente divisible, esto es, para cualquier entero positivon, existen variables aleatorias
independientes Y 1,..., Yn distribuidas
idénticamente la suma de las cuales tiene la misma distribución que tiene Y. Estas no serán geométricamente
distribuidas a menos que n =
1.
